JEMC 2014

Vraag 1 Opgelost!

bewijs of weerleg de volgende statements:

a) als $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=0$, dan moet $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0$

b) als $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0$, dan moet $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=0$

c) als $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=0$ en $a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}=0$, dan moet $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0$

Vraag 2

In elk hoekpunt van een regelmatige $n$-hoek $A_1A_2\dots A_n$ staat er een pion. Er zijn twee stappen die je kan uitvoeren:
1) alle pionnen in één stap klokgewijs bewegen
2) pionnen op hoekpunten $A_1$ en $A_2$ verwisselen.

Bewijs dat je met een eindige reeks van stappen we pionnen op plaatsen $A_i$ en $A_j$ kunnen verplaatsen ($i\ne j$) zodat alle andere pionnen op hun beginplaats blijven.

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een driehoek. De binnenbissectrice en buitenbissectrice van $\angle CAB $snijden zijde $BC$ in$E$ en $D$ respectievelijk. Zij $F$ een punt op het lijnstuk $[BC]$. De omgeschreven cirkel van $\triangle ADF$ snijden $AB$ en $AC$ in $I$ en $J$ respectievelijk. Zij $N$ het middenpunt van $[IJ]$ en $H$ het voetpunt van de loodlijn van $E$ op $DN$.
Bewijs dat $E$ het middelpunt is van de ingeschreven cirkel of een aangeschreven cirkel van driehoek $\triangle AHF$.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle functies $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ zodat
a) $f(nm) = f(n)f(m)$, voor alle natuurlijke $n, m$
b) Er bestaan oneindig veel $n$ zodat $\{1, 2, . . . , n\} = \{f(1), f(2), . . . , f(n)\}$.