grote machten

$a)$ Dit is duidelijk fout. Voor $a=1$, $b=-1$ en $c=0$, krijgen we
\begin{align*}
a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}&=1^{2013}+(-1)^{2013}+0^{2013} \\
&=1-1+0 \\
&=0
\end{align*}
Het is echter zo dat
\begin{align*}
a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}&=1^{2014}+(-1)^{2014}+0^{2014} \\
&=1+1+0 \\
&=2
\end{align*}
Aangezien $0 \neq 2$ bewijst dit dat de stelling fout is.

$b)$ Na het herschrijven van de opgave krijgen we $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=(a^{1007})^2+(b^{1007})^2+(c^{1007})^2$. Aangezien de som van kwadraten alleen maar gelijk kan zijn aan $0$, wanneer al deze kwadraten gelijk zijn aan 0, is $a=b=c=0$. Wanneer we dit invullen, krijgen we
\begin{align*}
a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}&=0^{2015}+0^{2015}+0^{2015} \\
&= 0 + 0 + 0 \\
&= 0
\end{align*}

Dit bewijst de stelling.

$c)$ Dit is opnieuw duidelijk fout. Voor $a=1$, $b=-1$ en $c=0$ weten we uit deel $a)$ dat $a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=0$ en ook is
\begin{align*}
a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}&=1^{2015}+(-1)^{2015}+0^{2015} \\
&= 1 - 1 + 0 \\
&= 0
\end{align*}
Het is echter zo dat $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=2$ (dit toonden we ook aan in deel $a)$). Aangezien $0 \neq 2$ volgt er dat de stelling fout is.