JEMC 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $m$ een strikt natuurlijk getal $(>0$) en stel $m?$ gelijk aan het product van de eerste $m$ priemgetallen.

Onderzoek of er strikt natuurlijke getallen $m$ en $n$ bestaan met de volgende eigenschappen:

$$
m?=n(n+1)(n+2)(n+3) $$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $P$ een punt binnen in een driehoek $\triangle ABC$. Een lijn door $P$ parallel aan $AB$ snijdt $BC$ en $CA$ in de punten $L$ en $F$, respectivelijk. Een lijn door $P$ parallel met $BC$ snijdt $CA$ en $BA$ in punten $M$ en$D$ respectivelijk, en een lijn door $P$ parallel met $CA$ snijdt $AB$ en $BC$ in punten $N$ en $E$ respectivelijk. Bewijs dat

$$
(PDBL) \cdot (PECM) \cdot (PFAN) = 8 \cdot (PFM) \cdot (PEL) \cdot (PDN) \text{,}
$$

waar $(XYZ)$ en $(XYZW)$ staan voor de oppervlaktes van de driehoek $\triangle XYZ$ en de oppervlakte van de vierhoek $XYZW$.

Vraag 3

We krijgen een combinatieslot bestaande uit $6$ roteerbare schijven.
Elke schijf bestaat uit de cijfers $0,1,2, \ldots, 9$ in die volgorde (na digit $9$ komt $0$).
Het slot is te openen door exact $1$ combinatie. Een beweging bestaat er in $1$ van de schijven $1$ digit te draaien in een richting en het slot opent direct als de huidige combinatie correct is.
De schijven zijn bij de start gezet op $000000$ en we weten dat dit niet de juiste combinatie is.

Wat is het kleinste aantal bewegingen nodig zodat we zeker zijn dat we de correcte combinatie hebben gevonden?

Wat is het kleinste aantal bewegingen nodig zodat we zeker zijn dat we de correcte combinatie hebben gevonden, als we weten dat geen enkele van de combinaties $000000$, $111111$, $222222$, $\ldots$, $999999$ correct is?

Vraag 4

Zij $a,b,c \in \mathbb{R}_0^+$ strikt positieve reele getallen die voldoen aan

$$
\frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+c+a} + \frac{c}{1+a+b} \geq \frac{ab}{1+a+b} + \frac{bc}{1+b+c} + \frac{ca}{1+c+a} \text{.}
$$

Bewijs dat

$$
\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2 \geq2 (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$$