meetkunde kan korter
Opgave - JEMC 2013 dag 1 vraag 2
Zij $P$ een punt binnen in een driehoek $\triangle ABC$. Een lijn door $P$ parallel aan $AB$ snijdt $BC$ en $CA$ in de punten $L$ en $F$, respectivelijk. Een lijn door $P$ parallel met $BC$ snijdt $CA$ en $BA$ in punten $M$ en$D$ respectivelijk, en een lijn door $P$ parallel met $CA$ snijdt $AB$ en $BC$ in punten $N$ en $E$ respectivelijk. Bewijs dat
$$
(PDBL) \cdot (PECM) \cdot (PFAN) = 8 \cdot (PFM) \cdot (PEL) \cdot (PDN) \text{,}
$$
waar $(XYZ)$ en $(XYZW)$ staan voor de oppervlaktes van de driehoek $\triangle XYZ$ en de oppervlakte van de vierhoek $XYZW$.
- login om te reageren
Oplossing
$\Delta PNF\cong \Delta ANF $ (ZZZ)
$\Delta PME\cong \Delta CEM $ (ZZZ)
$\Delta PLD\cong \Delta BDL $ (ZZZ)
We vullen dit in in het T.B.:
$8(PNF)(PME)(PLD)=8(PFM)(PEL)(PND)$
Benoem:
$\widehat{MPF}=\alpha $
$\widehat{EPL}=\beta$
$\widehat{NPD}=\gamma $
De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek, dus
$8(PFM)(PEL)(PND)=\left | PM \right |\left | PF \right |sin(\alpha )\left | PE \right |\left | PL \right |sin(\beta )\left | PN \right |\left | PD \right |sin(\gamma )$
$8(PNF)(PME)(PLD)=\left | PL \right |\left | PD \right |sin(\alpha )\left | PN \right |\left | PF \right |sin(\beta )\left | PM \right |\left | PE \right |sin(\gamma )$.
Bijgevolg is
$8(PNF)(PME)(PLD)=8(PFM)(PEL)(PND).$
Wat het te bewijzen voltooit.