EMC 2019

Dag 1

Vraag 1

Voor positieve natuurlijke getallen $a$ en $b$, zij $\gcd(a,b)$ (ggd$(a,b)$) hun grootste gemeenschappelijke deler. Vind alle paren van strikt positieve natuurlijke getallen $(m,n)$ zodat voor elke twee natuurlijke getallen $x$ en $y$ met $x \mid m$ en $y \mid n$, geldt dat $$\gcd(x+y,mn)>1.$$

Vraag 2

Zij $n$ een strikt positief natuurlijk getal. Een $n \times n$ bord bestaat uit $n^2$ vakjes, elk een eenheidsvierkant zijnde die wit of zwart is gekleurd, is \emph{convex} genoemd als voor elk zwart gekleurd vak, ook het vak er direct links van alsook het vak direct er boven van (als die bestaan) ook zwart gekleurd zijn. We definieren de \emph{schoonheid} van het bord als het aantal paren van vakken $(u,v)$ zodat $u$ zwart is, $v$ wit en $u$ en $v$ in dezelfde rij of kolom zitten. Bepaal de grootst mogelijke schoonheid van een convex $n\times n$ bord.

Vraag 3

In een scherphoekige driehoek $ABC$ met $|AB| \neq |AC|$, zij $I$ het incentrum (middelpunt ingeschreven cirkel) en $O$ het omcentrum (middelpunt omgeschreven cirkel). De ingeschreven cirkel raakt aan $[BC]$, $[CA]$ en $[AB]$ in $D$, $E$ en $F$ respectivelijk. Bewijs dat als de rechte parallel aan $EF$ door $I$, de rechte parallel aan $AO$ die door $D$ gaat en de hoogelijn vanuit $A$ concurrent zijn, het punt van concurrentie gelijk is aan het hoogtepunt van de driehoek $ABC$.

Vraag 4

Vind alle functies $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ zodat $$f(x) + f(yf(x) + f(y)) = f(x + 2f(y)) + xy$$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.