EMC 2017

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle functies $f \colon \mathbb N \to \mathbb N$ zodat de ongelijkheid
$$ f(x) + yf(f(x)) \le x(1 + f(y)) $$
geldt voor alle $x,y \in \mathbb N$.
Hier is $\mathbb N$ de verzameling van strikt positieve gehele getallen $\{1,2,3,4\ldots\}$ (internationaal is $0$ geen natuurlijk getal).

Vraag 2

Een voetbalwedstrijd duurt $90$ minuten.
In dit probleem bekijken we een team gecoacht door Sir Alex, waarbij op elk moment $11$ spelers spelen (i.e. geen rode kaarten).

(a)
Sir Alex wil dat elke speler hetzelfde aantal minuten mag spelen, maar minder dan $60$ minuten.
Wat is het kleinste aantal spelers waarbij hij dit kan doen.
(b)
Voor het getal gevonden in $(a)$, wat is het minimum aantal vervangingen die je nodig hebt, zodat elke speler hetzelfde aantal minuten mocht spelen?

Opmerking
Vervangingen kunnen enkel na een geheel aantal minuten plaatsvinden.
Spelers kunnen meermaals van het veld gehaald worden of op het veld gestuurd worden.

Vraag 3

Zij $ABC$ een ongelijkzijdige driehoek (i.e. een driehoek waarvan de $3$ zijden een verschillende lengte hebben) en de ingeschreven cirkel (incirkel) raakt

$BC, CA$ en $AB$ in punten $D, E$ and $F$ respectivelijk.
Laat de rechte $AD$ de incirkel snijden in $X$. Punt $M$ is gekozen op de lijn $FX$ zodat de vierhoek $AFEM$ cyclisch is (i.e. een koordenvierhoek). De lijnen $AM$ en $DE$ snijden in punt $L$.
Het midden van $[AE]$ is $Q$. Het punt $T$ op de rechte $LQ$ is zo gekozen dat $ALDT$ een koordenvierhoek is.
Zij $S$ een punt zodat de vierhoek $TFSA$ een parallelogram is en $N$ het tweede snijpunt van de omcirkel (omgeschreven cirkel) van driehoek $ASX$ en de rechte $TS$. Bewijs dat de omcirkels van $\triangle TAN$ en $\triangle LSA$ rakend zijn aan elkaar.

Vraag 4

Vind alle veeltermen $P$ met gehele coëfficiënten zodat $P(0) \neq 0$ en $$P^n(m) \cdot P^m(n)$$ een volkomen kwadraat van een geheel getal is voor alle natuurlijke getallen $n, m$.

Hier is $0$ ook een natuurlijk getal.

Opm.
Voor een natuurlijk getal $k$ en geheel getal $n$, is $P^k(n)$ is gedefinieerd als volgt:
$P^k(n) = n$ als $k = 0$ en $P^k(n) = P(P^{k - 1}(n))$ als $k > 0$.