EMC 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $a$, $b$, $n >0$ en priemgetallen $p$ waarvoor geldt dat

$$a^{2013} + b^{2013} = p^n$$

Vraag 2 Opgelost!

$\triangle ABC$ is een scherphoekige driehoek met hoogtepunt $H$.\\ De rechten $AH$ en $CH$ snijden $BC$ en $AB$ in punten $A_1$ en $C_1$ respectievelijk.
\\De lijnen $BH$ en $A_1C_1$ snijden in punt $D$. \\Stel dat $P$ het midden is van het lijnstuk $[BH]$ en $D'$ het spiegelbeeld is van $D$ tegenover $AC$.

Bewijs dat de vierhoek $APCD'$ een koordenvierhoek is.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat volgende ongelijkheid geldt voor alle positieve reele getallen $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f>0$
$$
\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} $$

Vraag 4

Olja schrijft $n>1$ natuurlijke getallen $a_1, a_2, \ldots, a_n$ die kleiner zijn dan $p_n$ op een bord.
Hierbij is $p_n$ het $n^{de}$priemgetal.
Oleg mag telkens $2$ getallen $x$ en $y$ kiezen en $1$ van de getallen wisselen met het product $xy$.
Dus $(x,y) \to (x,xy)$ of $x\to x^2$ wanneer hij $y=x$ nam.
Als er $2$ gelijke getallen op het bord staan, wint hij. Voor welke waarden van $n$ kan Oleg een winnende strategie vinden?