koordenvierhoeken zijn beroemd

Tags:

Opgave - EMC 2012 dag 1 vraag 2

$\triangle ABC$ is een scherphoekige driehoek met hoogtepunt $H$.\\ De rechten $AH$ en $CH$ snijden $BC$ en $AB$ in punten $A_1$ en $C_1$ respectievelijk.
\\De lijnen $BH$ en $A_1C_1$ snijden in punt $D$. \\Stel dat $P$ het midden is van het lijnstuk $[BH]$ en $D'$ het spiegelbeeld is van $D$ tegenover $AC$.

Bewijs dat de vierhoek $APCD'$ een koordenvierhoek is.

Oplossing

We weten dat $CC_1 \perp AB$ en $AA_1 \perp BC$, dus $\angle HA_1B = \angle AA_1B = 90$ en $\angle HC_1B = \angle CC_1B = 90$.
Dus vierhoek $A_1BC_1H$ is cyclisch. Dan omdat $\angle HC_1B = \angle HA_1B = 90$, is $P$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel van $A_1BC_1H$.

Omdat $A = BC_1 \cap A_1H$ en $C = BA_1 \cap C_1H$, krijgen we door de stelling van Brocard dat $P$ het hoogtepunt is van $\triangle ADC$.

Laat $K = CD \cap AP$ en $L = AD \cap CP$. Dan $\angle CKA = 90 = \angle ALC$ of $\angle ALP = 90 = \angle CKP$, dus de vierhoeken $PKDL$ en $AKLC$ zijn cyclisch.
Uit dit volgt dat \begin{equation*}
\begin{split}
&\angle D'PC = \angle DPC =\angle DPL =\angle DKL
&=\angle CKL =\angle CAL =\angle CAD =\angle CAD'
\end{split}
\end{equation*}
Dit geeft dat $APCD'$ cyclisch is.