1.5 keer te zwak

Opgave - EMC 2012 dag 1 vraag 3

Bewijs dat volgende ongelijkheid geldt voor alle positieve reele getallen $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f>0$
$$
\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} $$

Oplossing

Te schrijven als:
$\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b+d)^2(c+e+f)}}+\sqrt[3]{\frac{def}{(a+b+d)(c+e+f)^2}}<1$
Dit ruikt naar AM-GM, en inderdaad:
$\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+b+d)^2(c+e+f)}}+\sqrt[3]{\frac{def}{(a+b+d)(c+e+f)^2}}<$
$\frac{1}{3}\left(\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{c+e+f}+\frac{d}{a+b+d}+\frac{e}{c+e+f}+\frac{f}{c+e+f}\right)$
$=\frac{2}{3}<1$ En we zijn klaar!