opnieuw deze diophant

Laten we eerst alle factoren $p$ in $a$ en $b$ wegdelen, zodat $p\nmid a,b$ maar $p\mid a+b$ .
Dit omdat $1$ < $a+b$ en $a+b|a^{2013}+b^{2013}=p^n$
LTE zegt ons dat $v_p(p^n)=v_p(a+b)+v_p(2013)$.
Nu is $2013=3.11.61$, dus:
Stel $p\not= 3,11,61$
Dan is $v_p(a+b)=n \Rightarrow a+b=p^n=a^{2013}+b^{2013}$. De enige natuurlijke getallen $a$ en $b$ die hieraan voldoen zijn $a=b=1$, en dus $p=2$ en $n=1$.
Dit omdat $a^{2013}-a,b^{2013}-b >0$ voor $a,b >1$
Onze eerste oplossing wordt $(1,1,1,2)$ (in volgorde $(a,b,n,p)$)

Stel $p=3,11,61$, dan geeft LTE weer $v_p(a+b)=n-1\Rightarrow a+b=p^{n-1}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{p} \Rightarrow (a+b)p=a^{2013}+b^{2013}$
Stel dat $a \ge b$ en omdat $a+b \ge 3$ is $a \ge 2$ ( de vraag is symmetrisch in $a,b$)
Omdat nu $a^{2013}-pa \ge a^{2013}-61a>2^{2012}>60$ en $b^{2013}-pb \ge b^{2013}-61b \ge -60$ altijd geldt,
zien we dat dit dus geen oplossingen kan geven.

We besluiten dat onze eerste oplossing ook de enige was, maar we moeten onze weggedeelde factoren $2$ er nog bijrekenen. $a$ en $b$ hebben een gelijk aantal factoren $2$, dus de oplossingen worden $(2^k,2^k,2013k+1,2)$ met $k$ een natuurlijk getal.