JBaMO 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

$a,b,c>0$ zijn getallen met som $1$ .
Bewijs dat $\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+6\geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ). $

Vraag 2

De cirkels $k_1$ en $k_2$ snijden in de punten $A$ en $B$,
$t$ is de gemeenschappelijke raaklijn van $k_1$ en $k_2$ die $k_1$ en $k_2$ resp. in $M$ en $N$ raakt.
Als $t\perp AM$ en $|MN|=2|AM|$, bereken dan $\angle NMB$.

Vraag 3

Er zijn $n$ nagels verbonden met elkaar via touwtjes.
Ieder touw tussen twee nagels geeft $1$ van de $n$ kleuren die we hebben.
Voor ieder triplet kleuren bestaan er drie nagels die verbonden zijn met trouwtjes in die kleuren.
Is ditmogelijk voor $n=6$ ?
Wat voor zeven?

Vraag 4

Vind alle natuurlijke oplossingen $(x,y,z,t)$ voor $ 2^x3^y+5^z=7^t $ .