JBaMO 2007

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a>0$ met $a^3=6(a+1)$. Toon aan dat de vergelijking $x^2+ax+a^2-6=0$ geen reële oplossingen heeft.

Vraag 2

Zij $ABCD$ een convexe vierheok met $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ en $\angle{BAC}= 72^\circ$. Als de diagonalen van de vierhoek snijden in $P$, bepaal dan $\angle{APD}$.

Vraag 3

Gegeven $50$ punten in het vlak, geen drie collineair, die elk gekleurd in één van vier gegeven kleuren. Bewijs dat voor één van die kleuren, er $130$ ongelijkzijdige driehoeken bestaan met alledrie de hoeken in dat kleur.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $p>0$ een priemgetal. Bewijs dat $7p+3^p-4$ geen volkomen kwadraat is.