volkomen kwadraat

We maken een gevalonderscheid:
$p=2$: dit geeft duidelijk geen oplossing.

Vanaf nu veronderstellen we dat $p$ oneven is. $7p + 3^p - 4 = x^2$. Bestudeer beide leden modulo $4$. Aangezien een kwadraat altijd $\equiv 0,1 \pmod 4$, is $7p + 3^p \equiv 0,1 \pmod 4$. Merk op dat $3^p \equiv 3 \pmod 4$ voor $p$ oneven, dit betekent dat $7p \equiv 1,2 \pmod 4$ en dus $p \equiv 3 \pmod 4$. Als we nu beide leden modulo $p$ bestuderen, is het linkerlid $3^p - 4 \pmod p$ en wegens de kleine stelling van fermat is $3^p \equiv 3 \pmod p$ en dus is het linkerlid $\equiv -1 \pmod p$ (en dus ook het rechterlid). Nu is $-1$ geen kwadraatrest $\pmod p$ als $p\equiv 3 \pmod 4$ daar $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}.$

Er bestaan dus geen priemgetallen waarvoor de uitdrukking een kwadraat is.