geen reële wortels

Beschouw de functie $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}x\mapsto x^3-6x-6$. Er is gegeven dat $f(a) = 0$. Merk op dat $f'(x) = 3(x^2-2)$, dus $f$ bereikt een lokaal maximum in $(-\sqrt{2},4\sqrt{2}-6)$ en een lokaal minimum in $(\sqrt{2},-4\sqrt{2}-6)$. Dit betekent onder andere dat $\forall x\in]-\infty,\sqrt{2}] f(x) \leq f(-\sqrt{2}) < 0$. Bijgevolg moet $a > \sqrt{2} > 0$.

Stel nu dat de discriminant van de gegeven vergelijking $\Delta = 3(8-a^2)$ niet negatief zou zijn. Dan moet $8 \geq a^2$. Maar $a > 0$, dus hier volgt uit dat $8a \geq a^3 = 6a+6$, dus $a\geq 3$, in contradictie met $8\geq a^2$. Klaar.