JBaMO 2006

Vraag 1 Opgelost!

Als $n>4$ geen priemgetal is, bewijs dan dat $2n|(n-1)!$.

Vraag 2

Zij $\triangle ABC$ een gelijkbenige driehoek met tophoek $A$ en $\angle{BAC}<60^\circ$. Men kiest $D,E\in [AC]$ zodat $EB=ED$ en $\angle{ABD}=\angle{CBE}$. Als $O$ de doorsnede is van de inwendige bissectrices van $\angle{BDC}$ en $\angle{ACB}$, bereken dan $\angle{COD}$.

Vraag 3 Opgelost!

We noemen een getal perfect als de som van zijn delers (inclusief $1$ en $n$) gelijk is aan $2n$. Bepaal alle perfecte getallen $n$ waarvoor $n-1$ en $n+1$ priemgetallen zijn.

Vraag 4

Beschouw een vierkant bord bestaande uit $2n\times2n$ eenheidsvierkantjes. Als je van de $i$-de rij de middenste $2(i-1)$ eenheidsvierkantjes verwijdert, wat is dan het grootste aantal $2 \times 1$ en $1 \times 2$ rechthoeken dat zonder overlap op dit bord kan geplaatst worden (zonder erbuiten te gaan)?