JBaMO 2004

Vraag 1 Opgelost!

Als $(x,y)\neq(0,0)$, bewijs dan dat
$$\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\leq\frac{2\sqrt2}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

Vraag 2 Opgelost!

In driehoek $ABC$ geldt dat $AC=BC$ en noem $M$ het midden van $AC$. $z$ is de rechte door $C$ loodrecht op $AB$. De cirkel door $B,C,M$ snijdt de rechte $z$ in de punten $C$ en $Q$. Vind de straal van de omgeschreven cirkel van $ABC$ in termen van $m=CQ$.

Vraag 3 Opgelost!

Twee natuurlijke getallen $x,y$ zijn zodanig gekozen dat $3x+4y$ en $4x+3y$ beiden volkomen kwadraten zijn. Bewijs dat 7 zowel $x$ als $y$ deelt.

Vraag 4 Opgelost!

Beschouw een convexe veelhoek met $n>3$ hoekpunten. We splitsen hem willekeurig op in driehoekjes met de hoekpunten van de driehoek gelijk aan hoekpunten van de veelhoek, en zodanig dat er geen twee driehoeken overlappen. We schilderen de driehoeken die twee zijden gemeenschappelijk hebben met de veelhoek zwart, degene die 1 zijde gemeenschappelijk hebben rood, en degene die geen zijde gemeenschappelijk hebben wit. Bewijs dat er twee zwarte driehoeken meer zijn dan witte.