convexe veelhoek
Opgave - JBaMO 2004 vraag 4
Beschouw een convexe veelhoek met $n>3$ hoekpunten. We splitsen hem willekeurig op in driehoekjes met de hoekpunten van de driehoek gelijk aan hoekpunten van de veelhoek, en zodanig dat er geen twee driehoeken overlappen. We schilderen de driehoeken die twee zijden gemeenschappelijk hebben met de veelhoek zwart, degene die 1 zijde gemeenschappelijk hebben rood, en degene die geen zijde gemeenschappelijk hebben wit. Bewijs dat er twee zwarte driehoeken meer zijn dan witte.
- login om te reageren
Oplossing
Het aantal driehoeken is sowieso $n-2$, het totaal aantal zijden van de $n$-hoek is $n$, Dus hebben we dat
$$0*wit+1*rood+2*zwart=n,$$ $$wit+rood+zwart=n-2.$$
Rood elemineren uit dit stelsel geeft $zwart = wit + 2$. :smile: