straal van de omgeschreven cirkel
Opgave - JBaMO 2004 vraag 2
In driehoek $ABC$ geldt dat $AC=BC$ en noem $M$ het midden van $AC$. $z$ is de rechte door $C$ loodrecht op $AB$. De cirkel door $B,C,M$ snijdt de rechte $z$ in de punten $C$ en $Q$. Vind de straal van de omgeschreven cirkel van $ABC$ in termen van $m=CQ$.
- login om te reageren
Oplossing
Weggevertje :grin:
Voor wie tekening wil, klik hier.
Vermits $\angle MCQ = \angle QCB$ geldt dat $MQ=QB$.
Noem nu $X$ het snijpunt van $z$ met de omschreven cirkel van $\Delta ABC$. Het is nu overduidelijk dat $\Delta QXB$ gelijkvormig is met $\Delta MAB$. Nu hebben we:
$$\frac{\sin{MQB}}{MB}=\frac{\sin{QMB}}{QB} \Rightarrow \frac{1}{2\cos{\frac{ACB}{2}}} = \frac{QB}{MB} = \frac{QX}{AM}$$
We weten ook dat $CA = 2AM = \cos{ACX}.AX$, dus volgt het dat $\frac{QX}{CX}=\frac{1}{4}$.
Dus de straal van de omschreven cirkel van $\Delta ABC$ is even lang als $\frac{2 CQ}{3}$.