JBaMO 2003

Vraag 1 Opgelost!

Een getal $A$ bestaat uit $2n$ cijfers ($n$ een natuurlijk getal), allemaal gelijk aan 4. Een getal $B$ bestaat uit $n$ cijfers, allemaal gelijk aan 8. Bewijs dat $A+2B+4$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 2 Opgelost!

Veronderstel dat er $n$ punten in een vlak liggen waarvan er geen drie collineair zijn, zodanig dat als we ze markeren met $A_1,A_2,...,A_n$ op eender welke manier, de gebroken lijn $A_1A_2...A_n$ zichzelf niet snijdt. Vind de maximumwaarde van $n$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $D,E,F$ de middens van de bogen $BC,CA,AB$ op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ zonder de punten $A,B,C$ respectievelijk. De rechte $DE$ snijdt de rechte $BC$ in $G$ en de rechte $CA$ in $H$. $M$ is het midden van $GH$. De rechte $FD$ snijdt $BC$ in $K$ en $AB$ in $J$. $N$ is het midden van $KJ$.
(a) Vind de hoeken van de driehoek $DMN$.
(b) Bewijs dat als $P$ het snijpunt is van de rechten $AD$ en $EF$, dat het centrum van de omgeschreven cirkel van $DMN$ op de omgeschreven cirkel van $PMN$ ligt.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $x,y,z>-1$, bewijs dat
$$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2} {1+x+y^2}\geq2.$$