ongelijkheid

Tags:

JBaMO
Algebra & analyse
ongelijkheid

Opgave - JBaMO 2003 vraag 4

Zij $x,y,z>-1$ , bewijs dat

$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2} {1+x+y^2}\geq2.$

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Klassiek truukje:

$\sum_{\text{cyc}} \frac{1+x^2}{1+y+z^2} \geq \sum_{\text{cyc}} \frac{1+x^2}{1+\frac{1+y^2}{2}+z^2} = 2\sum_{\text{cyc}} \frac{(1+x^2)}{(1+y^2)+2(1+z^2)}$

Het volstaat dus, met $1+x^2 = a$ enz., te bewijzen dat

$\sum_{\text{cyc}} \frac{a}{b+2c} \geq 1$

Triviaal, want Cauchy in Engel form zegt

$\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{b+2c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq 1$

Nederlandstalig olympiadeproject

ongelijkheid

Opgave - JBaMO 2003 vraag 4

Oplossing

Zoeken

Random generator

Niveau