volkomen kwadraat
Opgave - JBaMO 2003 vraag 1
Een getal $A$ bestaat uit $2n$ cijfers ($n$ een natuurlijk getal), allemaal gelijk aan 4. Een getal $B$ bestaat uit $n$ cijfers, allemaal gelijk aan 8. Bewijs dat $A+2B+4$ een volkomen kwadraat is.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $C=\underbrace{111\ldots1}_n$, dan $A=4\cdot10^nC+4C$ en $B=8C$. Bijgevolg $$A+2B+4=4\cdot10^nC+4C+16C+4=4C(10^n-1)+24C+4$$ $$=4C\cdot9C+24C+4=(6C+2)^2.$$