JBaMO 2001

Vraag 1 Opgelost!

Los op in natuurlijke getallen: $a^3+b^3+c^3=2001$.

Vraag 2

Zij $ABC$ een rechthoekige driehoek in $C$ en $CA\neq CB$. De hoogte $CH$ wordt getekend en de bissectrice van $C$ snijdt de $AB$ in $L$. Toon aan dat voor $X\neq C$ op de rechte $CL$, $\angle XAC\neq\angle XBC$. Toon ook aan dat voor $Y\neq C$ op de rechte $CH$ dat $\angle YAC\neq YBC$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek met $D,E$ punten op de zijdes $AB$ en $AC$ respectievelijk. Als $DF, EF$ (met $F\in AE,G\in AD$) de bissectrices van de hoeken van driehoek $ADE$, bewijs dat de som van de oppervlaktes van de driehoeken $DEF$ en $DEG$ ten hoogste de oppervlakte van de driehoek $ABC$ bedraagt. Wanneer is er gelijkheid?

Vraag 4 Opgelost!

Zij $N$ een convexe 1415-hoek met omtrek 2001. Bewijs dat we drie hoekpunten kunnen nemen van $N$ die een driehoek vormen met oppervlakte kleiner dan 1.