JBaMO 2000

Vraag 1 Opgelost!

$x$ en $y$ zijn positieve reële getallen zodat
$$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000.$$
Toon aan dat $x+y=10$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $n$ verschillend van 0 zodat $n^2+3^n$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 3

Een halve cirkel met diameter $EF$ wordt op de zijde $BC$ van de driehoek $ABC$ geplaatst en hij raakt de zijden $AB$ en $AC$ in de punten $Q$ en $P$ respectievelijk. Bewijs dat het snijpunt $K$ van de rechten $EP$ en $FQ$ op de hoogtelijn uit $A$ van de driehoek $ABC$ ligt.

Vraag 4

In een tennistoernooi deden $2n$ jongens en $n$ meisjes mee. Iedere speler speelde precies 1 keer tegen iedere andere speler. De jongens wonnen $\frac75$ keer zoveel als de meisjes. Vind $n$ als je weet dat er geen draws bestaan in tennis.