volkomen kwadraat

Opgave - JBaMO 2000 vraag 2

Vind alle natuurlijke getallen $n$ verschillend van 0 zodat $n^2+3^n$ een volkomen kwadraat is.

Oplossing

Stel $n^2+3^n=m^2$ en daaruit $(m+n)(m-n)=3^n$. Stel $m+n=3^s$ en $m-n=3^t$ met $s+t=n$. Aftrekken geeft ons $2n=3^s-3^t$. Het minimum, verschillend van 0, van $3^s-3^t$ wordt bereikt in $3^{a+1}-3^a=2\cdot3^a$ met $2a+1=n$. Voor $n>3$ is het makkelijk aan te tonen dat $n<3^{\frac{n-1}2}$ via inductie. De enige andere mogelijkheden uitproberen geeft ons $n=1$ en $n=3$.