JBaMO 1999

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c,x,y$ reële getallen die voldoen aan $a^3+ax+y=0$, $b^3+bx+y=0$ en $c^3+cx+y=0$. Als $a,b,c$ alledrie verschillend zijn, bewijs dan dat hun som 0 is.

Vraag 2 Opgelost!

Voor ieder natuurlijk getal $n$ definiëren we $A_n=2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$. Vind de grootste gemene deler van $A_0,A_1,...,A_{1999}$.

voorbeeld: ggd(2,3,6)=1

Vraag 3 Opgelost!

Zij $S$ een vierkant met zijde 20 en zij $M$ de verzameling van punten gevormd met de hoekpunten van $S$ en nog 1999 andere punten die in $S$ liggen. Bewijs dat er een driehoek bestaat waarvan de hoekpunten uit $M$ komen en met een oppervlakte ten hoogste $\frac1{10}$.

Vraag 4

Zij $ABC$ een driehoek met $AB=AC$. $D$ is een punt op de zijde $BC$ zodat $BC>BD>DC>0$ en noem $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ de omgeschreven cirkels van de driehoeken $ABD$ en $ADC$ respectievelijk. Zij $BB'$ en $CC'$ de diameters van de twee cirkels en noem $M$ het midden van $B'C'$. Bewijs dat de oppervlakte van de driehoek $MBC$ constant is. (Dat het dus niet afhangt van de positie van $D$.)