vierkant
Opgave - JBaMO 1999 vraag 3
Zij $S$ een vierkant met zijde 20 en zij $M$ de verzameling van punten gevormd met de hoekpunten van $S$ en nog 1999 andere punten die in $S$ liggen. Bewijs dat er een driehoek bestaat waarvan de hoekpunten uit $M$ komen en met een oppervlakte ten hoogste $\frac1{10}$.
- login om te reageren
Oplossing
We tellen het aantal disjuncte driehoeken. De vier hoekpunten vormen er reeds 2, en met ieder extra punt binnen het vierkant komen er nog 2 bij, dus een totaal van $2\cdot1999+2=4000$. Aangezien de oppervlakte van het vierkant 400 is, weten we door het duivenhokprincipe dat er minimum één is met een oppervlakte $\leq1/10$.