kubische vergelijking
Opgave - JBaMO 1999 vraag 1
Zij $a,b,c,x,y$ reële getallen die voldoen aan $a^3+ax+y=0$, $b^3+bx+y=0$ en $c^3+cx+y=0$. Als $a,b,c$ alledrie verschillend zijn, bewijs dan dat hun som 0 is.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
We elimineren de $y$ uit de vergelijkingen:
$a^3+ax = b^3+bx = c^3+cx = -y$
We willen nu $x$ elimineren. Uit de eerste gelijkheid volgt bijvoorbeeld dat $a^3-b^3 = -(a-b)x$. Omdat $a\neq b$, is dus $a^2+ab+b^2 = -x$. Analoog: $b^2+bc+c^2 = -x$.
Dus $a^2 + ab + b^2 = -x = b^2 + bc + c^2$, dus $a^2-c^2 = bc-ab = -(a-c)b$, maar $a\neq c$, dus $a+c = -b$, ofte $a+b+c = 0$.
Of je kunt gewoon opmerken dat $a,b,c$ de wortels zijn van $X^3+Xx+y=0$, en dus dat $a+b+c=-\text{coeff}(X^2)=0$. :)