RMM 2017

Dag 1

Vraag 1

Bewijs dat elk natuurlijk getal uniek geschreven kan worden als \[n=\sum_{j=1}^{2k+1}(-1)^{j-1}2^{m_j},\] met $k \ge 0$ en $0\le m_1$<$m_2\cdots $<$m_{2k+1}$.
Het getal $k$ wordt het gewicht van het getal $n$ genoemd.

Vind ook het verschil tussen het aantal natuurlijke getallen dat een even gewicht heeft en de getallen met een oneven gewicht.

Vraag 2

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ die voldoen aan de volgende eigenschap:
voor elke monische veelterm $P$ van graad maximaal $n$ met gehele coëfficiënten geldt dat er een natuurlijk getal $k\le n$ en $k+1$ verschillende gehele getallen $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}$ bestaan zodat \[P(x_1)+P(x_2)+\cdots +P(x_k)=P(x_{k+1})\].

Dag 2

Vraag 3

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek en zij $P, Q, R, S$ punten op de lijnstukken $AB, BC, CD$, en $DA$, respectivelijk. De lijnstukken $PR$ en $QS$ verdeelt $ABCD$ in vier vierhoeken, die elk loodrechte diagonalen hebben. Bewijs dat de punten $P, Q, R, S$ cyclisch zijn.