BaMO 2023

Dag 1

Vraag 1

Vind alle functies $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodanig dat voor alle $x, y \in \mathbb{R}$ geldt:

\[xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)).\]

Vraag 2

In driehoek $ABC$ raakt de ingeschreven cirkel de zijden $BC, CA, AB$ respectievelijk aan bij $D, E, F$. Ga ervan uit dat er een punt $X$ op de lijn $EF$ bestaat zodat

\[\angle{XBC} = \angle{XCB} = 45^{\circ}.\]

Laat $M$ het middelpunt zijn van het boogsegment $BC$ op de omgeschreven cirkel van $ABC$ dat $A$ niet bevat. Bewijs dat de lijn $MD$ door $E$ of $F$ gaat.

Vraag 3

Voor elke positieve gehele getal $n$, duiden we met $\omega(n)$ het aantal verschillende priemdelers van $n$ aan (bijvoorbeeld, $\omega(1)=0$ en $\omega(12)=2$). Vind alle veeltermen $P(x)$ met gehele coëfficiënten, zodanig dat wanneer $n$ een positief geheel getal is dat voldoet aan $\omega(n)>2023^{2023}$, dan is $P(n)$ ook een positief geheel getal met

\[\omega(n)\ge\omega(P(n)).\]

Vraag 4

Vind het grootste gehele getal $k\leq 2023$ waarvoor het volgende geldt: telkens wanneer Alice precies $k$ getallen uit de verzameling $\{1,2,\dots, 2023\}$ in het rood kleurt, kan Bob sommige van de overgebleven niet-gekleurde getallen in het blauw kleuren, zodanig dat de som van de rode getallen gelijk is aan de som van de blauwe getallen.