BaMO 2002

Vraag 1

Beschouw $n$ punten $A_1,A_2,\ldots,A_4$ in het vlak ($n\geq4$), zodat er geen drie collineair zijn. Enkele paren van deze punten zijn verbonden aan de hand van een lijnstuk, zodat elk punt op zijn minst met drie andere punten verbonden is. Bewijs dat er een $k>1$ bestaat en de verschillende punten $A_1,A_2,\ldots,A_{2k}$ in de verzameling $\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$ zodat voor iedere $i\in\mathbb N[1,2k-1]$ geldt dat het punt $X_i$ verbonden is met $X_{i+1}$ en $X_{2k}$ met $X_1$.

Vraag 2

De rij $(a_n)_{n\geq1}$ wordt gedefinieerd door $a_1=20,\ a_2=30$ en $a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$ voor alle natuurlijke getallen $n\geq1$. Vind alle natuurlijke getallen $n$ waarvoor $1+5a_na_{n+1}$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 3

Twee cirkels met verschillende stralen snijden elkaar in $A$ en $B$. De gemeenschappelijke raaklijnen zijn $MN$ en $ST$ zodat $M,S$ op de eerste cirkel liggen en $N,T$ op de tweede. Bewijs dat de hoogtepunten van $\triangle AMN,\triangle AST,\triangle BMN,\triangle BST$ de hoekpunten van een rechthoek voorstellen.

Vraag 4

Bepaal alle functies $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ zodat voor alle natuurlijke getallen $n$ geldt dat
$$2n+2001\leq f(f(n))+f(n)\leq2n+2002.$$