BaMO 1995

Vraag 1 Opgelost!

Vind de waarde van
$$(\ldots(((2\star3)\star4)\star5)\star\ldots)\star1995,$$
waar $\displaystyle{x\star y=\frac{x+y}{1+xy}}$.

Vraag 2

Beschouw twee cirkels $C_1$ en $C_2$ met middens $O_1,O_2$ en stralen $r_1,r_2$ respectievelijk ($r_2>r_1$). De cirkels snijden in $A$ en $B$ zodat $\angle O_1AO_2=90^\circ$. De rechte $O_1O_2$ snijdt $C_1$ in $C,D$ en $C_2$ in $E,F$, met $E$ tussen $C$ en $D$ en $D$ tussen $E$ en $F$. De rechte $BE$ snijdt $C_1$ in $K$ en $AC$ in $M$. $BD$ snijdt $C_1$ in $L$ en $AC$ in $N$. Toon aan dat
$$\frac{r_2}{r_1}=\frac{KE}{LM}\cdot\frac{LN}{ND}.$$

Vraag 3

$a,b$ zijn twee natuurlijke getallen zodat $a>b$ en $a+b$ even is. Bewijs dat de wortels van de vergelijking
$$x^2-(a^2-a+1)(x-b^2-1)-(b^2+1)^2=0$$
natuurlijke getallen zijn, maar geen enkel volkomen kwadraat.

Vraag 4

Zij $n$ een natuurlijk getal en $S$ de verzameling van alle punten $(x,y)$ met $x,y$ natuurlijke getallen en $x\leq n,y\leq n$. Veronderstel dat $T$ de verzameling is van alle vierkanten waarvan de hoekpunten in $S$ zitten. Noteer met $a_k\ (k\geq0)$ het aantal koppels van punten in $S$ die de hoekpunten zijn van precies $k$ vierkanten van $T$. Toon aan dat $a_0=a_2+2a_3$.