Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Balkanlanden › BaMO › 1995 › sterbewerking

sterbewerking

Tags:

Opgave - BaMO 1995 vraag 1

Vind de waarde van

$$(\ldots(((2\star3)\star4)\star5)\star\ldots)\star1995,$$

waar $\displaystyle{x\star y=\frac{x+y}{1+xy}}$.

Oplossing

Ingediend door Manu

Het is vooreerst eenvoudig na te gaan dat $\left ( \left ( x\star y \right ) \star z\right )=\frac{xyz + \sum x}{1 + \sum xy }= \left ( x\star\left ( y \star z\right )\right )$ en dus is $\star$ associatief op $D \doteq \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$ (we sluiten de opslorpende elementen $-1$ en $1$ uit).
$\star$ vormt trouwens een abelse groep op $D$ met als neutraal element $0$ en met als inverse $x^{-1} = -x$.
We zoeken nu een uitdrukking voor $ \underset{i}{\bigstar} x_i} \doteq x_1 \star x_2 \star \ldots$ die deze associativiteit in de verf zet, met andere woorden die onder permutatie van de $x_i$ invariant blijft.

Bemerk $x \star y = \frac{(1+x)(1+y)}{1+xy} - 1$, maar ook $x \star y = 1 - \frac{(1-x)(1-y)}{1+xy}$.

Dus $ 1 + xy = \frac{(1+x)(1+y)}{1 + (x \star y)} = \frac{(1-x)(1-y)}{1 - (x \star y)} $
en $\frac{1 + (x \star y)}{1 - (x \star y)} = \frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}$.
Anders gezegd, als $f(z) \doteq \frac{1 + z}{1 - z}$ dan is $f \left ( x \star y ) = f(x) f(y)$.

Nu volgt dus dankzij de associativiteit door herhaalde substitutie $f \left ( \underset{i}{\bigstar} x_i\right ) = \prod_i f(x_i)$.

Merk op dat f bijectief is van $D$ naar $D$. De vergelijking $f(z) = c$ heeft als oplossing $z = \frac{c-1}{c+1} = -\frac{1}{f(c)}$. Op $D$ geldt dus $f^{-1} = - \frac{1}{f}$.

De gezochte uitdrukking is dus $\forall x_i \in D$
$\underset{i}{\bigstar} x_i =f^{-1} \left ( \prod_i f(x_i)\right ) = - \frac{1}{f \left ( \prod_i f(x_i)\right )} = \frac{\prod_i {f(x_i)}-1}{\prod_i f(x_i)+1} = \frac{\prod_i \left ( \frac{1+x_i}{1-x_i} \right)-1}{\prod_i \left ( \frac{ 1+x_i}{1-x_i} \right)+1}$.

Voor de opgave is $c = \prod_{i=2}^{1995} \frac{1+i}{1-i} = \prod_{i=2}^{1995} \frac{i+1}{i-1} = \frac{1996 \cdot 1995}{2 \cdot 1}$.

Zodoende is

$\overset{1995}{\underset{i=2}{\bigstar}} i = \frac{\frac{1996 \cdot 1995}{2}-1}{\frac{1996 \cdot 1995}{2}+1} = \frac{998 \cdot 1995 -1}{998 \cdot 1995 +1} = \frac{1.991.009}{1.991.011} $