BaMO 1993

Vraag 1

Gegeven de reële getallen $a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$ die voldoen aan $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=10$ en $(a_1-1)^2+(a_2-1)^2+(a_3-1)^2+(a_4-1)^2+(a_5-1)^2+(a_6-1)^2=6$. Wat is de grootst mogelijke waarde voor $a_6$?

Vraag 2 Opgelost!

Hoeveel natuurlijke getallen met niet meer dan 1993 cijfers in hun decimale voorstelling hebben hun cijfers in niet-dalende volgorde? Bijvoorbeeld is 55677 toegelaten, maar 54 niet.

Vraag 3 Opgelost!

Twee cirkels met midden $A$ en $B$ raken uitwendig in $X$. Een derde cirkel met midden $C$ raakt de beide cirkels in respectievelijk $Y$ en $Z$. De raaklijn in de eerste twee cirkels in $X$ vormt een koorde van de derde cirkel met midden $M$. Bewijs dat $\angle YMZ=\angle ACB$.

Vraag 4

$p$ is een priemgetal en $k$ een natuurlijk getal groter dan 1. Toon aan dat we natuurlijke getallen $(m,n)\neq(1,1)$ kunnen vinden zodat $\displaystyle{\frac{m^p+n^p}2=\left(\frac{m+n}2\right)^k}$ enkel als $k=p$.