BaMO 1990

Vraag 1 Opgelost!

De rij $(u_n)$ is gedefinieerd door $u_1=1,\ u_2=3,\ u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}$. Welke termen van de rij zijn deelbaar door 11?

Vraag 2

Werk $(x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n)^2$ uit en tel de coëfficiënten van $x^{n+1}$ tot en met $x^{2n}$ op. Toon aan dat het resultaat $\displaystyle{\frac{n(n+1)(5n^2+5n+2)}{24}}$ is.

Vraag 3 Opgelost!

De voetpunten van de hoogtelijnen van de driehoek $ABC$ zijn resp. $D,E,F$. De ingeschreven cirkel van $\triangle DEF$ snijdt de zijden in 3 punten $G,H,I$. Bewijs dat $ABC$ en $GHI$ dezelfde Euler-rechte hebben (dit is de rechte door het midden van de omgeschreven cirkel en het zwaartepunt).

Vraag 4 Opgelost!

De functie $f$ is gedefinieerd over de natuurlijke getallen en $f(m)\neq f(n)$ als $m-n$ geen priemgetal is. Wat is de kleinst mogelijke grootte van het beeld van $f$?