functievergelijking

Opgave - BaMO 1990 vraag 4

De functie $f$ is gedefinieerd over de natuurlijke getallen en $f(m)\neq f(n)$ als $m-n$ geen priemgetal is. Wat is de kleinst mogelijke grootte van het beeld van $f$?

Oplossing

De getallen $f(1)$, $f(3)$, $f(6)$ en $f(8)$ moeten verschillend zijn, dus het beeld van $f$ bevat minstens vier elementen. We hebben echter genoeg aan vier elementen: neem bijvoorbeeld voor $f(n)$ de rest van $n$ bij deling door $4$. Als $f(m) = f(n)$, dan is $m - n$ deelbaar door $4$ en bijgevolg niet priem, dus deze functie voldoet aan de voorwaarden.