Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Balkanlanden › BaMO › 1990 › deelbaar door 11

deelbaar door 11

Tags:

Opgave - BaMO 1990 vraag 1

De rij $(u_n)$ is gedefinieerd door $u_1=1,\ u_2=3,\ u_n=(n+1)u_{n-1}-nu_{n-2}$. Welke termen van de rij zijn deelbaar door 11?

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Easeh.

$(u_n - u_{n-1}) = n(u_{n-1} - u_{n-2})$, dus $u_n - u_{n-1} = n(n-1)(n-2)...(3)(u_2 - u_1) = n!$, i.e. $u_n = n! + u_{n-1}$.

Voor $n \geq 10$ is $u_n \equiv u_{n-1}\mod{11}$, waardoor we enkel $u_1, u_2, ..., u_{10}$ hoeven te checken.
$u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 9$, $u_4 = 33$, $u_5 = 153$, $u_6 = 873$, $u_7 = 5913$, $u_8 = 46233$, $u_9 = 409113$ en $u_{10} = 4037913$. Van al deze getallen zijn enkel $u_4$, $u_8$ en $u_{10}$ deelbaar door 11. Verder geldt er, omdat $u_{10} \equiv 0\mod{11}$ en $u_n\equiv u_m\mod{11}$, $\forall m,n \geq 10$, dat alle $u_n$ deelbaar zijn door 11, voor $n\geq 10$. Dus alle termen die deelbaar zijn door 11, zijn: $u_4, u_8, u_{10}, u_{11}, u_{12}, ...$.