rechte van Euler

De Euler-rechten van $\triangle ABC$ en $\triangle GHI$ hebben het hoogtepunt $D$ van $\triangle ABC$ alvast gemeenschappelijk, want het middelpunt de omgeschreven cirkel van $\triangle GHI$ is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de voetpuntsdriehoek van $\triangle ABC$, en het is bekend dat $D$ het middelpunt van deze ingeschreven cirkel is. (Eenvoudig te controleren.) Het volstaat dan verder om te bewijzen dat de Euler-rechten van $\triangle ABC$ en $\triangle GHI$ evenwijdig zijn. We gaan bewijzen dat de overeenkomstige zijden van $\triangle ABC$ en $\triangle GHI$ evenwijdig zijn, want dan zijn de driehoeken homothetisch en dan zijn hun Euler-rechten ook evenwijdig. Zijn $A'$, $B'$, $C'$ de voetpunten van de hoogtelijnen, $G \in B'C'$, $H \in C'A'$ en $I \in A'B'$. Dan is $\angle AB'G = 90^\circ - \angle GB'D = 90^\circ - \angle GID = \angle B'IG = \angle B'GI$. We hebben hierbij het feit gebruikt dat $D$, $I$, $G$ en $B'$ op een cirkel liggen (evident). Uit $\angle AB'G = \angle B'GI$ volgt inderdaad dat $AC \parallel GI$ en we zijn klaar.