IMC 1997

Dag 1

Vraag 1

Zij $\left(\varepsilon_n\right)_{n=1}^\infty$ een rij positieve reële getallen met $\lim_{n\rightarrow\infty}\varepsilon_n=0$. Vind $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum^n_{k=1}\ln\left(\frac kn+\varepsilon_n\right)$.

Vraag 2

Er geldt dat $\sum a_n$ convergeert waarbij $a_i$ een rij is van reele getallen.
Zijn volgende sommen convergerend?

$(1)$ $ a_{1}+a_{2}+(a_{4}+a_{3})+(a_{8}+...+a_{5})+(a_{16}+...+a_{9})+... $

$(2)$ $ {a_{1}+a_{2}+(a_{3})+(a_{4})+(a_{5}+a_{7})+(a_{6}+a_{8})+(a_{9}+a_{11}+a_{13}+a_{15})$ $+(a_{10}+a_{12}+a_{14}+a_{16})+(a_{17}+a_{19}+...} $

Dag 2

Vraag 1

Zij $f\in C^3\left(\mathbb{R}\right)$ een niet-negatieve functie met $f(0)=f'(0)=0$ en $f''(0)>0$. Definieer nu $g(x)=\left(\frac{\sqrt{f(x)}}{f'(x)}\right)'$ voor $x\not=0$ en $g(0)=0$.
(a) Toon aan dat $g$ begrensd is rond 0.
(b) Is (a) ook waar voor alle $f\in C^2\left(\mathbb{R}\right)$?

Vraag 3

Bewijs,dat $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}\sin(\log n)}{n^\alpha}$ convergeert aesa $\alpha>0$