EGMO 2016

Dag 1

Vraag 1

Zij $n$ een oneven positief geheel getal, en laat $x_1, x_2, \ldots, x_n$ niet-negatieve reële getallen zijn. Bewijs dat $$\min_{ i=1,...,n} (x_i^2 +x_{ i+1}^2) \le \max_{j=1,...,n} (2x_jx_{j+1})$$, waarbij $x_{n+1} = x_1$.

Vraag 2

Zij $ABCD$ een koordenvierhoek en laat diagonalen $AC$ en $BD$ snijden in $X$. Zij $C_1,D_1$ en $M$ de middens van $[CX],[DX]$ en $[CD]$, respectievelijk. Rechten $AD_1$ en $BC_1$ snijden in $Y$, rechte $MY$ snijdt diagonalen $AC$ en $BD$ in twee verschillende punten $E$ en $F$ resp.
Bewijs dat de rechte $XY$ rakend in aan de cirkel door de punten $E,F$ en $X$.

Vraag 3

Zij $m$ een natuurlijk getal. Beschouw een $4m\times 4m$ rooster van vierkante vakjes.
Twee verschillende vakken zijn gerelateerd aan elkaar als ze in de zelfde kolom of zelfde rij liggen, maar een vak is niet gerelateerd aan zichzelf.
Bepaalde cellen zijn blauw, zodat elk vak gerelateerd is met minstens twee blauwe vakken.
Bepaal het minimale aantal blauwe vakjes in het rooster.

Dag 2

Vraag 1

Twee cirkels $\omega_1$ en $\omega_2$, van gelijke straal snijden in (verschillende punten) $X_1$ en $X_2$ . Beschouw een cirkel $\omega$ die uitwendig raakt aan $\omega_1$ in $T_1$ en inwendig raakt aan $\omega_2$ in punt $T_2$. Bewijs dat de rechten $X_1T_1$ en $X_2T_2$ snijden in een punt die op $\omega$ ligt.

Vraag 2

Zij $k,n$ natuurlijke getallen met $k\ge 2$ and $k \le n \le 2k-1$. Plaats rechthoekige tegels, elk van afmetingen $1 \times k$, of $k \times 1$ op een $n \times n$ schaakbord zodat elke tegel exact $k$ vakjes van het bord bedekt en geen twee tegels overlappen.
Doe dit tot er geen tegel meer geplaatst kan worden op reglementaire wijze.
Voor elke $k$ en $n$, bepaal het minimum aantal tegels die in zo'n configuratie minimaal gelegd is geweest.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $S$ de verzameling van positieve gehele getallen $n$ waarvoor geldt dat $n^4$ een deler
heeft die in de verzameling $\{n^2 + 1, n^2 + 2, \ldots , n^2 + 2n\}$ zit. Bewijs dat er in $S$
oneindig veel elementen zijn voor elke vorm $7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5, 7m + 6$ (met $m$ geheel) , en dat er geen elementen zijn van de vorm $7m + 3$ of $7m + 4$ (met $m$ geheel).