dicht bij een 7voud

Stel dat $n^2+a$ met $0< a\le 2n$ een deler is van $n^4$, dan bestaat er een $b\in \mathbb{N}$ zodat $n^4=(n^2+a)(n^2-b)$, of nog $n^2(a-b)=ab$. Omdat $0< a\le 2n$, is $0 < b < 2n$, $0 < n^2(a-b)=ab < 4n^2$ en dus ook $0 < a-b < 4$. We maken een gevalsonderscheid:

1) $b=a-1$, dan is $n^2=a(a-1)$. Aangezien $\mathrm{ggd}(a,a-1)=1$, moeten zowel $a$ als $a-1$ volkomen kwadraten zijn. Dus moet $a=1$ en $n=0$, wat geen oplossing is.

2) $b=a-2$, dan is $2n^2=a(a-2)$. Stel $x=a-1$, dan krijgen we $x^2-2n^2=1$. Deze pellvergelijking heeft als fundamentele oplossing $(3,2)$, dus worden alle positieve oplossingen gegeven door $z_i=x_i+n_i\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^i$. We bekijken de eerste oplossingen modulo 7:
\begin{align*}
& z_1=3+2\sqrt{2}\equiv 3+2\sqrt{2}\\
& z_2=17+12\sqrt{2}\equiv 3+5\sqrt{2}\\
& z_3\equiv (3+5\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})\equiv 1
\end{align*}
Dit geeft $n_1\equiv 2,n_2\equiv 5,n_3\equiv 0 \pmod 7$. Aangezien $z_3\equiv 1$, is $z_{i+3}\equiv z_i \Rightarrow n_{i+3}\equiv n_i \pmod 7$. Dus bevat $S$ oneindig veel elementen van de vorm $7m$, $7m+2$ en $7m+5$.

3) $b=a-3$, dan is $3n^2=a(a-3)$. Beide leden met 4 vermenigvuldigen en $x=2a-3$ nemen, geeft $x^2-12n^2=9$. De vergelijking $x^2-12n^2=1$ heeft als fundamentele oplossing $(7,2)$. Dus is $(3,0)$ de enige fundamentele oplossing van $x^2-12n^2=9$, en worden alle positieve oplossingen gegeven door $z_i=x_i+n_i\sqrt{12}=3(7+2\sqrt{12})^i$. Opnieuw bekijken we de oplossingen modulo 7:
\begin{align*}
& z_1\equiv 3\cdot 2\sqrt{12}\equiv 6\sqrt{12}\\
& z_2\equiv 2\sqrt{12}\cdot 6\sqrt{12}\equiv 4\\
& z_3\equiv 2\sqrt{12}\cdot 4\equiv \sqrt{12}\\
& z_4\equiv 2\sqrt{12}\cdot \sqrt{12}\equiv 3\\
\end{align*}
Dus is $n_1\equiv 6$, $n_3\equiv 1$ en $n_2\equiv n_4\equiv 0$. Deze keer geldt dat $z_4=3(7+2\sqrt{12})^4\equiv 3$, dus $z_{i+4}\equiv z_i \Rightarrow n_{i+4}\equiv n_i \pmod 7$. Opdat $a$ geheel is, moet $x_i\equiv 1\pmod 2$, wat altijd het geval is aangezien $z_i=3(7+2\sqrt{12})^i\equiv 1\pmod 2$. We besluiten dat $S$ oneindig veel elementen van de vorm $7m$, $7m+1$ en $7m+6$ bevat.

Dus zijn er oneindig veel elementen van de vorm $7m,7m+1,7m+2,7m+5,7m+6$ in $S$, maar geen elementen van de vorm $7m+3$ of $7m+4$.