EGMO 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven is een driehoek $ABC$.
Op het verlengde van zijde $BC$, aan de kant van $C$, ligt een punt $D$ zodat$
|
CD
|
=
|
BC
|$.
Op het verlengde van zijde $CA$, aan de kant van
$A$
, ligt een punt $E$ zodat
$|
AE
|
= 2
|
CA
|
.$
Veronderstel dat
$|
AD
|
=
|
BE
|$
. Bewijs dat driehoek $ABC$ rechthoekig is.

Vraag 2

Bepaal alle gehele getallen $m$
waarvoor een $m
*
m$-vierkant opgedeeld kan worden in
vijf rechthoeken, waarbij de lengtes van de zijden van de rechthoeken gelijk zijn aan de gehele getallen
$1
,
2
,
3
, \cdots,
10$
in een of andere volgorde.

Vraag 3

Zij $n$ een positief geheel getal.
$(a)$ Bewijs dat er een verzameling $S$ van $6n$ verschillende positieve gehele getallen bestaat, zodat van elke twee elementen uit $S$
het kleinste gemene veelvoud niet groter is dan
$$32
n^
2$$.
$(b)$ Bewijs dat elke verzameling $T$ van $6
n$
verschillende positieve gehele getallen twee elementen bevat
waarvan het kleinste gemene veelvoud groter is dan
$$9
n^
2$$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle positieve gehele getallen $a$ en $b$ waarvoor geldt:
er bestaan drie opeenvolgende
gehele getallen waar het polynoom
$$P
(
n
) =
\frac{n^
5
+
a}
b$$
gehele waarden aanneemt.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\tau$ de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$.
De cirkel $\Omega$ raakt aan de zijden
$AC$ en $BC$ en raakt inwendig aan de cirkel
$\tau$ in het punt $P$.

Een lijn evenwijdig aan $AB$ die het inwendige van driehoek
$ABC$ doorsnijdt, raakt aan $\Omega$ in $Q$.
Bewijs dat
$$\angle
ACP
=
\angle
QCB$$
.

Vraag 3

Sneeuwwitje en de zeven dwergen wonen in hun huis in het bos.
Op elk van $16$ opeenvolgende dagen werkten sommige dwergen in de diamantmijn, terwijl de overige dwergen bosbessen plukten.
Geen enkele dwerg deed beide activiteiten op dezelfde dag.
Op elke twee verschillende (niet noodzakelijk opeenvolgende) dagen waren er minstens drie dwergen die elk beide activiteiten deden.
Verder werkten op de eerste dag alle zeven dwergen in de diamantmijn.
Bewijs dat er een dag is binnen deze $16$ dagen waarop alle zeven dwergen bosbessen plukten.