90 driehoek
Opgave - EGMO 2013 dag 1 vraag 1
Gegeven is een driehoek $ABC$.
Op het verlengde van zijde $BC$, aan de kant van $C$, ligt een punt $D$ zodat$
|
CD
|
=
|
BC
|$.
Op het verlengde van zijde $CA$, aan de kant van
$A$
, ligt een punt $E$ zodat
$|
AE
|
= 2
|
CA
|
.$
Veronderstel dat
$|
AD
|
=
|
BE
|$
. Bewijs dat driehoek $ABC$ rechthoekig is.
- login om te reageren
Oplossing
Duidelijk is dat $A$ het zwaartepunt van driehoek $AEC$ is (wegens $|BC| = |CD|$ en $E,A,C$ collineair. Verder geldt ook dat $\frac{|EA|}{|AC|} = 2$, wat een gekende eigenschap van het zwaartepunt is. Construeer dus het middelpunt $M$ op $[BE]$. Merk op dat hierdoor geldt dat $\frac{|AD|}{|AM|} = 2 \iff |AD| = 2 \cdot |AM| = |BE|$ wat impliceert dat $M$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel om $\triangle ABE$ is, dit impliceert rechtstreeks dat $\angle BAE = \angle BAC = 90°$ want $[BE]$ is de diameter.