opeenvolgende waarden worden geheel

veronderstel dat de drie opeenvolgende getallen $n-1, n, n+1$ zijn. Dit geeft
$b|(n-1)^5 + a$
$b|n^5 + a$
$b|(n+1)^5 + a$

Dit impliceert dat $(n-1)^5 \equiv n^5 \equiv (n+1)^5 \pmod{b}$ en nu is het gewoon een kwestie van dingen optellen/aftrekken.
We krijgen zo dat
$(n-1)^5 + (n+1)^5 - 2n^5 \equiv 20n^3 + 10n \equiv 0 \pmod b$
dus $10n^3 + 5n \equiv 0 \pmod b$
Ook hebben we $(n+1)^5 - (n-1)^5 \equiv 10n^4 + 20n^2 + 2 \equiv 0 \pmod b$
dus $10n^4 +210n^2 + 2 - n(10n^3 - 5n) \equiv 15n^2 + 2 \equiv 0 \pmod b$
dus $n^2 \equiv \frac{-2}{15} \pmod b$
maar we hadden ookal dat $20n^3 + 10n \equiv 0 \pmod b$ en merk op dat als $n\equiv 0 \pmod b$, dan zouden we hebben dat $(n-1)^5 \equiv n^5 \equiv (n+1)^5 \equiv -1 \equiv 0 \equiv 1 \pmod b$ en dus $b=1$ wat de triviale oplossing $(a,b) = (n,1), n \in \mathbb{N}$ geeft. Veronderstel dus $n\not\equiv 0 \pmod b$.
Dit impliceert dat $20n^2 + 10 \equiv 0 \pmod b \iff n^2 \equiv \frac{-1}{2} \pmod b$
Dit impliceert dat $\frac{-1}{2} \equiv \frac{-2}{15} \pmod b \iff 11 \equiv 0 \pmod b$
Wat impliceert dat $b=11$ ($b=1$ bespraken we al) en we krijgen dat $n \equiv -4,4 \pmod {11}$

Nu zoeken we nog welke $a$ voldoen voor $b=11$.
Als $n\equiv 4 \pmod {11}$, dan voldoet $a \equiv 10 \pmod{11}$ en als $n \equiv -4 \pmod{11}$, dan voldoet $a \equiv 1 \pmod{11}$
Conclusie:
Oplossingen zijn $(a,b) = (n,1), (11n+1, 11), (11n+10, 11), n \in \mathbb{N}$.