IMOSL 2015

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle functies $f \colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ met de eigenschap dat
\[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] geldt voor elke $x,y \in \mathbb Z$.

Vraag 5

Zij $2 \mathbb Z +1$ de verzameling van oneven getallen.
Vind alle functies $f \colon \mathbb{Z} \mapsto 2\mathbb{Z} + 1$ die voldoen aan de eigenschap dat
\[ f(x + f(x) + y) + f(x - f(x) - y) = f(x+y) + f(x-y) \] voor alle $x,y \in \mathbb Z$.

Vraag 15

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek met hoogtepunt $H$. Zij $G$ het punt zodat de vierhoek $ABGH$ een parallelogram is. Zij $I$ het punt op de rechte $GH$ zodat $AC$ het lijnstuk $[HI]$ middendoor snijdt. Veronderstel dat $AC$ de omgeschreven cirkel van $GCI$ snijdt in $C$ en $J$. Bewijs dat $|IJ| = |AH|.$

Vraag 24

Zij $a,b$ natuurlijke getallen (verschillend van nul) zodat $a!+b!$ een deler is van $a!b!$. Bewijs dat $3a \ge 2b+2$.

Dag 1

Vraag 21

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek. Zij $P$, $Q$, $R$ en $S$ punten op $AB$, $BC$, $CD$ en $DA$, respectievelijk. Het snijpunt van $PR$ en $QS$ noemen we $O$. Veronderstel dat elk van de vierhoeken $APOS$, $BQOP$, $CROQ$ en $DSOR$ een ingeschreven cirkel heeft. Bewijs dat de rechten $AC$, $PQ$ en $RS$ dan concurrent zijn, of allemaal evenwijdig aan elkaar.