IMO 2022

Dag 1

Vraag 1

De Bank van Oslo geeft twee soorten munten uit: van aluminium (genoteerd met een $A$) en van brons (genoteerd met een $B$). Máxima heeft $n$ aluminium munten en $n$ bronzen munten in een willekeurige beginvolgorde op een rij gelegd. Een keten is een willekeurige deelrij van opeenvolgende munten van dezelfde soort. Gegeven een vast geheel getal $k$ met $1 \le k \le 2n$, voert Máxima herhaaldelijk de volgende handeling uit: ze bepaalt de langste keten die de $k$-de munt vanaf links bevat, en verplaatst alle munten in die keten naar het begin van de rij. Bijvoorbeeld, als $n = 4$ en $k = 4$, dan zouden de opeenvolgende handelingen bij beginvolgorde $AABBBABA$ als volgt zijn:

\[AAB\underline{B}BABA \rightarrow BBB\underline{A}AABA \rightarrow AAA\underline{B}BBBA \rightarrow BBB\underline{B}AAAA \rightarrow BBB\underline{B}AAAA \rightarrow \ldots\]

Bepaal alle paren $(n,k)$ met $1 \le k \le 2n$ zodanig dat voor elke beginvolgorde op een gegeven moment in het proces de eerste $n$ munten vanaf links allemaal van dezelfde soort zijn.

Vraag 2

Zij $\mathbb{R}_{>0}$ de verzameling van $n$ (strikt) positieve reële getallen. Bepaal alle functies $f \colon \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ zodanig dat er voor alle $x \in \mathbb{R}_{>0}$ precies één $y \in \mathbb{R}_{>0}$ is met
\[xf(y) + yf(x) \leq 2 \]

Vraag 3

Zij $k$ een (strikt) positief geheel getal en zij $S$ een eindige verzameling van oneven priemgetallen. Bewijs dat er ten hoogste één manier is (op rotatie en spiegeling na) om de elementen van $S$ rondom een cirkel te plaatsen zodanig dat het product van elk tweetal buren te schrijven is als $x^2 + x + k$ voor een zeker (strikt) positief geheel getal $x$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABCDE$ een convexe vijfhoek met $|BC| = |DE|$. Veronderstel dat er een punt $T$
in het inwendige van $ABCDE$ is met $|TB| = |TD|, |TC| = |TE|$ en $\angle ABT = \angle TEA$. De (rechte) lijn $AB$ snijdt de (rechte) lijnen $CD$ en $CT$ respectievelijk in de punten $P$ en $Q$. Neem aan dat de punten $P, B, A, Q$ in die volgorde op de lijn liggen. De (rechte) lijn $AE$ snijdt de (rechte) lijnen $CD$ en $DT$ respectievelijk in de punten $R$ en $S$. Neem aan dat de punten $R, E, A, S$ in die volgorde op de lijn liggen. Bewijs dat de punten $P, S, Q, R$ op één cirkel liggen.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle drietallen $(a,b,p)$ van (strikt) positieve gehele getallen met $p$ priem en
\[a^p = b! + p\]