De oneliner van Olympia

Indien $p=2$, bekijken we $a^2 = b! + 2$ modulo $4$.
Daar $a^2 \equiv 0,1 \pmod 4$, moet $b! \equiv 2,3 \pmod 4$ hetgeen enkel kan wanneer $b=2.$
Dit levert $(a,b,p) = (2,2,2)$ als enige oplossing op voor $p=2$.

Vanaf nu veronderstellen we dat $p>2$ een oneven priemgetal is.

claim 1: p|a
Veronderstel uit het ongerijmde dat $p \not \mid a$. Er geldt nu dat $p \not \mid b!$ wegens de gegeven gelijkheid modulo $p$ en dus $b < p$. Ook is $b < a$ wegens modulo $a$. Verder is duidelijk dat $p>a>b$ want als $a>p>b$ dan geldt er dat $p! + p> b! + p = a^p > p^p$, maar $p^p > p^{p-1}(p-1)+p> p! + p$ voor $p\geq 3$.
We hebben dus $p>a>b$. Dit betekent echter dat $b! + p = a^p \ge (b+1)^p$, maar $(b+1)^p > b^p+pb> b! + p$ voor $p>b$. Contradictie.
Dit betekent dus dat $p|a$.

claim 2: a=p
Wegens claim 1 en modulo $p^2$ (en aangezien $p\geq 2$) is $b < 2p$, en dus $a^p = b! + p < (2p)! + p$
Schrijf $a = px$ met $x$ oneven ($x$ even betekent $b=1$ maar $p^p \leq a^p = 1 + p$ geen oplossing wegens simpele inductie).
Als $x \geq p$ dan hebben we dat $p^{2p} \leq (2p-1)! + p$ maar er geldt dat $p^{2p} >
p^{2p-1} +p > (2p-1)! + p$ [hier gebruiken we dat $a(2p-a) < p^2$ voor $1\le a \le p-1$] dus $x < p$.
Neem nu een $q|x$ waardoor $q< p$. Modulo $q$ bestuderen geeft $b< q \leq x$ maar $(xp)^p = b! + p < x! + p$ is duidelijk onwaar. Bijgevolg is $x=1$ en de claim bewezen.

Nu hebben we $p^p = b! + p$. Dit betekent dat $2p>b>p$ daar $p \ge 3.$ Als we delen door $p$ krijgen we $p^{p-1} - 1 = \frac{b!}{p}$.
Hierbij zien we dat $b \ge 4$ (daar $p \ge 3$).
Er geldt echter dat $v_2(p^{p-1} - 1) = 2v_2(p-1) + v_2(p+1) -1 \leq \log_2(p^2-1)<2 \log_2(p)$ wegens LTE.
Ook is $v_2(b!) \geq \lfloor b/2 \rfloor + \lfloor b/4 \rfloor \ge 3p/4$
We moeten hebben dat $v_2(b!) \leq v_2(p^p - p)$ opdat $b!$ een deler is van $p^{p-1} - 1$. Dus $3p/4 \leq 2\log_2(p) \iff 3p \leq 8 \log_2(p)$ wat niet waar is voor $p>8$. We controleren $p=3,5,7$ en vinden als enige oplossing $(a,b,p) = (3,4,3)$.

De oplossingen zijn $(a,b,p) \in \{ (2,2,2), (3,4,3) \}$.