IMO 2015
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Een verzameling van punten $S$ is gebalanceerd als voor elke $2$ verschillende punten $A,B$ er een derde punt $C$ in $S$ ligt zodat $|AC|=|BC|$.
Het is centervrij, als het omcentrum van $3$ verschillende punten in $S$ niet tot $S$ behoort.
(a) Bewijs dat er voor elke natuurlijke $n \ge 3$ een gebalanceerde set van $n$ elementen bestaat.
(b) Voor welke $n \ge 3$ bestaaat er een centervrije, gebalanceerde set van $n$ elementen ?
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle triplets natuurlijke getallen $a,b,c$ waarvoor $ab-c, bc-a, ca-b$ allen machten van $2$ zijn.
Vraag 3 Opgelost!
Zij $\triangle ABC$ een driehoek met $|AB|>|AC|$.
$\Omega$ is zijn omgeschreven cirkel.
$H$ het hoogtepunt en $F$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$.
$M$ het midden van $[BC]$.
Zij $Q$ een punt op $\Omega$ zodat $\angle HQA=90^{\circ}$ en $K$ het punt op $\Omega$ waarvoor $\angle HKQ=90^{\circ}$.
Hierbij zijn alle voorgaande punten verschillend.
Bewijs dat de omgeschreven cirkel van driehoeken $KQH$ en $FKM$ rakend aan elkaar zijn.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Driehoek $ABC$ heeft omgeschreven cirkel $\Omega$ en omcentrum $O$.
Een cirkel $\Gamma$ met center $A$ snijdt $[BC]$ in punten $D$ en $E$, zodat $B$, $D$, $E$, en $C$ allen verschillend zijn en in die volgorde liggen.
Zij $F$ en $G$ de snijpunten $\Gamma$ en $\Omega$, zodat $A$, $F$, $B$, $C$ en $G$ allen liggen op $\Omega$ in deze volgorde.
Zij $K$ het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $BDF$ en $[AB]$.
$L$ is het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $CGE$ en $[CA]$.
Veronderstel dat de lijnen $FK$ en $GL$ verschillend zijn en snijden in $X$. Bewijs dat $X$ ligt op de lijn $AO$.
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle functies van $\mathbb R$ naar $\mathbb R$ zodat voor alle $x,y \in\mathbb R$ geldt dat \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\]
Vraag 3 Opgelost!
De rij gehele getallen $a_1,a_2,\dots$ voldoet aan volgende voorwaarden:
(i) $1\le a_j\le2015$ voor alle $j\ge1$,
(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ voor alle $1\le k<\ell$.
Bewijs dat er twee natuurlijke getallen $b$ en $N$ bestaan waarvoor geldt dat
\[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\]
voor alle $m$ en $n$ zodat $n>m\ge N$.
