Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 2015 › collineairiteit of concurrentie

collineairiteit of concurrentie

Tags:

Opgave - IMO 2015 dag 2 vraag 1

Driehoek $ABC$ heeft omgeschreven cirkel $\Omega$ en omcentrum $O$.

Een cirkel $\Gamma$ met center $A$ snijdt $[BC]$ in punten $D$ en $E$, zodat $B$, $D$, $E$, en $C$ allen verschillend zijn en in die volgorde liggen.

Zij $F$ en $G$ de snijpunten $\Gamma$ en $\Omega$, zodat $A$, $F$, $B$, $C$ en $G$ allen liggen op $\Omega$ in deze volgorde.

Zij $K$ het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $BDF$ en $[AB]$.

$L$ is het tweede snijpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek $CGE$ en $[CA]$.

Veronderstel dat de lijnen $FK$ en $GL$ verschillend zijn en snijden in $X$. Bewijs dat $X$ ligt op de lijn $AO$.

Oplossing

Ingediend door Tijs B.

We zullen beginnen met volgende twee lemma's te bewijzen:

Lemma 1: $\widehat{ACB}+\widehat{GEC}=\widehat{ABC}+\widehat{FDB}$.

$\widehat{ACB}+\widehat{GEC}$
$=\widehat{ACB}+180°-\widehat{GED}$
$=\widehat{ACB}+\widehat{GFD}$ (som overstaande hoeken in een koordenvierhoek)
$=\widehat{AGB}+\widehat{GFD}$ (omtrekshoeken op dezelfde boog)
$=\widehat{AGF}+\widehat{FGB}+\widehat{GFD}$
$=\widehat{AFG}+\widehat{FGB}+\widehat{GFD}$ ($\left | AF \right |=\left | AG \right |$)
$=(\widehat{AFC}-\widehat{GFC})+\widehat{FCB}+(\widehat{GFC}+\widehat{CFD})$(omtrekshoeken op dezelfde boog)
$=\widehat{AFC}+\widehat{CFD}+\widehat{FCD}$
$=\widehat{ABC}+\widehat{FDB}$ (omtrekshoeken op dezelfde boog, buitenhoek)

Lemma 2: $\widehat{XGF}=\widehat{XFG}$

Merk het volgende op:

$\widehat{XGF}$
$=\widehat{XGE}-\widehat{FGE}$
$=\widehat{LCE}-(180°-\widehat{FDE})$ (som overstaande hoeken koordenvierhoek, omtrekdhoeken op dezelfde boog)
$=\widehat{ACB}-\widehat{FDB}$ (omtrekshoeken op dezelfde boog)

Analoog kun je bewijzen dat: $\widehat{XFG}=\widehat{ABC}-\widehat{GEC}$

Omdat $\widehat{ACB}-\widehat{FDB}=\widehat{ABC}-\widehat{GEC}$ volgens lemma 1, is het lemma bewezen.

Uit lemma 2 volgt nu dat $X$ op de middelloodlijn van $[GF]$ ligt. Maar aangezien $\left | AF \right |=\left | AG \right |$, ligt ook $A$ op dezelfde middelloodlijn. Hieruit volgt dat $AX$ de middelloodlijn van koorde $[GF]$ van $\Omega$ is, waardoor $AX$ een middellijn van $\Omega$ is, en dus $X \in AO$. Q.E.D.