machten van 2

We maken een gevalsonderscheid:

(1) Zij $a=b$. Dan $a^2 -c=2^p$ en $a(c-1)=2^q$. Dus $c-1$ en $a$ zijn beiden machten van twee. Zij $a=2^k$. Dan $c=2^{q-k}+1$, dus $$2^{2k}-2^{q-k}-1=2^p.$$ Stel dat geen van deze (drie) machten van twee in voorgaande vergelijking gelijk is aan $1$; dan zal het linkerlid congruent zijn met $1$ modulo twee en het rechter met $0$. Contradictie! Dus zal er een macht gelijk zijn aan één.

Zij p=0 Je krijgt $4^k-2^{q-k}=2 \Leftrightarrow 4^k=2(2^{q-k-1}+1)$. Nu moet noodzakelijk $q-k-1=0$, en dus $k=1$, omdat anders er een oneven factor ($\neq 1$) in het rechterlid staat. Hieruit volgt $a=b=2$ en $c=3$. Het koppel dat hieraan voldoet is dus $(2,2,3)$ en al haar permutaties. Het voldoet ook, aangezien $2*2-3=2^0$; $2*3-2=2^2$.

Zij q=k Je krijgt $4^k=2(2^{p-1}+1)$. Ook hier geldt, dat als $p \neq 1$, er in het rechterlid een oneven factor niet gelijk aan één staat. Dus $k=1$ en dus $a=b=c=2$. Het voldoet ook, aangezien $2*2-2=2^1$.

Zij k=0 Je krijgt $0=2^q+2^p$, wat niet kan.

(2) Laat $ab-c=2^p$, $ac-b=2^q$, $bc-a=2^r$. Omdat geen twee elementen gelijk zijn (dan heb je geval $1$), kan men W.L.O.G. stellen dat $a>b>c$. Dan zal $ab-ac>0>c-b$, zodat $ab-c>ac-b$, en dus $2^p>2^q$, en dus $p>q$, aangezien de functie $f(x)=2^x$ monotoon stijgend is. Analoog toont men aan dat $q>r$, zodat $p>q>r$.

Merk op dat, door de vergelijkingen op-of af te trekken, je het volgende krijgt: $(a-1)(b+c)=2^q (2^{p-q}+1)$ en $(a+1)(b-c)=2^q(2^{p-q}-1)$. Omdat slechts één van $a+1$ en $a-1$ deelbaar kan zijn door vier, moet gelden dat $2^{q-1} \mid b-c$ of $2^{q-1} \mid b+c$. In beide gevallen geldt dat $2^{q-1}\leq b+c \Leftrightarrow 2^q \leq 2(b+c)$. Hieruit volgt dat $c(b+1)\leq ac=2^q+b\leq 2(b+c)+b \Leftrightarrow bc \leq 3b+c <4b \Leftrightarrow c<4$. We zullen dus gevalsonderscheid voor de mogelijke waarden van $c$ maken.

c=0 Je krijgt $-b=2^q$, wat duidelijk niet mogelijk is.

c=1 Je krijgt $b-a=2^r$, maar aangezien $b-a<0$, is ook dit niet mogelijk.

c=2 Je krijgt $ab=2^p +2=2(2^{p-1}+1)$. We weten dat $p$ niet één is, omdat $p>q>r$ en dus minstens $2$ is. Dus is ofwel $a$ ofwel $b$ even, maar niet allebei. Maar uit $2a-b=2^q$ volgt dat $b$ even is, dus $a$ is oneven, maar dan dan is $2b-a$ ook oneven, zodat noodzakelijk $2b-a=2^r=1$ en dus $r=0$. Hieruit volgt $a=2b-1$, waaruit volgt dat $4b-2-b=2^q \Leftrightarrow 3b=2^q+2$. Merk op dat $2+1 \mid 2(2^{q-1}+1) \Leftrightarrow q \equiv 0 \pmod 2$ Ook is $4a-a-1=2^{q+1} \Leftrightarrow 3a=2^{q+1}+1$. Dus:

$9ab=(2^{q+1}+1)(2^q+2)=2^{2q+1}+2^{q+2}+2^q+2=9(2^{p}+2)$
$\Leftrightarrow 2^{2q}+2^{q+1}+2^{q-1}+1=9*2^{p-1}+9$
$\Leftrightarrow 2^{q-1}(2^{q+1}+2^2+1)=9*2^{p-1}+2^3$

Omdat $q-1$<$p-1$, zal $2^{q-1} \mid 2^{p-1}$. Hieruit volgt dan dat $2^{q-1} \mid 2^3$, aangezienwat na wegdeling van $2^{q-1}$ overblijft in het linkerlid geheel is. Omdat $q$ tevens even is, blijven volgende mogelijkheden over:

q=4 Nu zal $a=11$ en $b=6$. Dus $(a,b,c)=(11,6,2)$. Het koppel voldoet aangezien $6*11-2=2^6$, $2*6-11=2^0$ en $2*11-6=2^4$. Alle permutaties voldoen ook.

q=2 Nu zal $a=3$ en $b=2$. We krijgen de al eerder verkregen oplossing $(2,2,3)$, die aan deze voorwaarden niet voldoet, aangezien we hadden gesteld dat $a>b>c$.

c=3 Aangezien $ab \equiv 1 \pmod 2$, zijn $a$ en $b$ noodzakelijk oneven. (opnieuw geldt dat $p\neq 0$). Uit $3b=2^r +a$ volgt dat $a=3b-2^r$. Invullen in $3a-b=2^q$ geeft: $9b-3*2^r-b=2^q \Leftrightarrow 8b=2^r (2^{q-r}+3) \Leftrightarrow b= 2^{r-3}(2^{q-r}+3)$. Omdat $b$ oneven is en de rechterfactor geheel, zal $r=3$. Hieruit volgt dat $b=2^{q-3}+3$ en $a=3b-8=3*2^{q-3}+9-8=3*2^{q-3}+1$. Dus:

$ab=(3*2^{q-3}+1)(2^{q-3}+3)=3*2^{2q-6}+10*2^{q-3}+3=2^p+3$
$\Leftrightarrow 2^{q-2} (3*2^{q-4}+5)=2^p$.

We willen dus dat $3*2^{q-4}+5$ een macht van twee is. Stel dat $q>4$. Dan is het geheel congruent met $1$ modulo $2$, en kan dus nooit een macht van twee zijn (tenzij één, maar het minimum hier is 5). Hieruit volgt dat $q=4$, want $3+5=8=2^3$ is een macht van twee. Hieruit volgt $a=7$ en $b=5$, zodat $(a,b,c)=(7,5,3)$. Dit koppel voldoet, aangezien $5*7-3=2^5$; $5*3-7=2^3$; $3*7-5=2^4$.

Alle triplets $(a,b,c)$ die voldoen zijn dus $(2,2,2)$, $(2,2,3)$, $(2,6,11)$ en $(3,5,7)$ en hun permutaties. Q.E.D.