Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 2015 › niet verwacht?

niet verwacht?

Tags:

Opgave - IMO 2015 dag 1 vraag 1

Een verzameling van punten $S$ is gebalanceerd als voor elke $2$ verschillende punten $A,B$ er een derde punt $C$ in $S$ ligt zodat $|AC|=|BC|$.
Het is centervrij, als het omcentrum van $3$ verschillende punten in $S$ niet tot $S$ behoort.

(a) Bewijs dat er voor elke natuurlijke $n \ge 3$ een gebalanceerde set van $n$ elementen bestaat.

(b) Voor welke $n \ge 3$ bestaaat er een centervrije, gebalanceerde set van $n$ elementen ?

Oplossing

Ingediend door Tijs B.

(a): We maken een gevalsonderscheid tussen $n$ oneven en $n$ even:

$n$ oneven: Neem $S$ gelijk aan de hoekpunten van een regelmatige $n$-hoek. De middelloodlijn van $2$ willekeurige punten gaat altijd door een derde punt van de veelhoek, daar $n$ oneven is.
(eenvoudig expleciet te bewijzen met nummering van hoekpunten)
Aangezien het omcentrum van drie punten hiervan steeds het centrum van de regelmatige $n$-hoek is en deze niet tot $S$ behoort, is $S$ centervrij.

$n$ even: Beschouw een cirkel met middelpunt $M$. Kies twee punten $A$ en $B$ op deze cirkel zodat $\Delta ABM$ een gelijkzijdige driehoek is. Kies nu een punt $C\neq A$ op de cirkel zodat ook $\Delta CBM$ een gelijkzijdige driehoek is. Er blijven nog $n-4$ punten over om te plaatsen. Omdat dit getal even is, kunnen we nu elk paar punten zó plaatsen op de cirkel dat ze samen met $M$ een gelijkzijdige driehoek vormen.

Deze verzameling voldoet, aangezien op de middelloodlijn van $M$ en een willekeurig punt van $S$, er een punt van $S$ ligt zodat deze drie een gelijkzijdige driehoek vormen.
Op de middelloodlijn van twee willekeurige punten op de cirkel zal $M$ liggen.

(b): In (a) hebben we al bewezen dat oneven $n$ voldoen. We zullen bewijzen dat, als een set gebalanceerd en centervrij is, een oneven aantal punten noodzakelijk is.

Veronderstel dat $n$ even is. We weten dat, in een centervrije, gebalanceerde set op de middelloodlijn van elk paar punten minstens één ander punt van $S$ ligt, en dat geen punt op twee verschillende middelloodlijnen ligt (mogelijk is wel dat middelloodlijnen samenvallen, dan worden ze als één gerekend). Er zijn in totaal ${n}\choose{2}$$ =\frac{n(n-1)}{2}$ middelloodlijnen en maximaal $n$ verschillende middelloodlijnen omdat er geen enkel punt op meer dan één verschillende middelloodlijnen ligt. Stel dat er $M$ verschillende middelloodlijnen zouden zijn. Dan zouden er volgens het duivenhokprincipe minstens $\left \lceil \frac{n(n-1)}{2M} \right \rceil$ middelloodlijnen met elkaar samenvallen. Maar aangezien $M\leq n$, zal gelden dat $\left \lceil \frac{n(n-1)}{2M} \right \rceil \geq \left \lceil \frac{n-1}{2} \right \rceil=\frac n2$ omdat $n$ even is. Maar aangezien hiervoor minstens $n$ punten nodig zijn, aangezien twee middelloodlijnen van drie verschillende punten nooit samenvallen, en je dus per samenvallende middelloodlijn minstens $2$ punten nodig hebt, zal op deze middelloodlijn geen enkel punt van $S$ liggen. Contradictie.
Q.E.D.